Question

已知函数f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx，a,b∈R

（1）若b=a-1，求函数f(x)的单调递减区间。（2）若-1≤a≤1，-1≤b≤1，求方程f'(x)=0有实数根的概率。

Answer 1

1、f'(x)=x^2+ax+(a-1)=(x+a-1)(x+1)
若函数单调递减，则f'(x)≤0，
又f'(x)=0有两个解，x1=-1,x2=1-a,
当a=2时，f'(x)≫0恒成立，不存在单调递减区间
当a<2时，1-a>-1，在区间（-1，1-a）上函数单调递减
当a>2时，1-a<-1，在区间（1-a,-1)上函数单调递减
2、若-1≤a≤1，-1≤b≤1
f'(x)=x^2+ax+b,
若方程f'(x)=0有实数根，则
a^2-4b≫0,即b≤a^2/4,
以a为横坐标，b为纵坐标建立直角坐标系,
则-1≤a≤1，-1≤b≤1表示一个矩形区域，
矩形区域和曲线b≤a^2/4所围成的面积占整个矩形面积的百分比即为概率
面积=2+∫1/4a^2da,其中-1≤a≤1，
得结果为【2+1/6】/4=13/24,(不好意思，我也不知道错没错，只是提供一种思路，希望能有帮助）

Answer 2

(1)
f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+bx
f(x)导数=x^2+ax+b
f(x)导数=x^2+ax+a-1
x^2+ax+a-1=0
x1=-1,x2=1-a
当1-a>-1,a<2时
-1<x<1-a,f(x)导数,f(x)单调递减
当1-a<-1,a>2时
1-a<x<-1,f(x)导数,f(x)单调递减
(2)
f(x)导数=x^2+ax+b
∆=a2-4b≥0,
a2≥4b
因0≤a2/4≤1/4,-1≤b≤1
所以-1≤b≤0
概率=1/2

Answer 3

（1）求导，令导数<0就是单调递减区间
（2）a,b的取值是在一个正方形了 ，你在求那个方程有实数根时，得到a,b的范围，两个面积相除就是所要的概率

Answer 4

你的函数解析式不明确