Question

求函数的奇偶性

Answer 1

1.函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，符号表示：就是定义域内的任意取x1，x2，且x1＜x2，比较f（x1），f（x2）的大小,图像上看从左往右看图像在一直上升或下降的就是单调函数（或f(x1)<f（x2）则是增函数）；
2.
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈D,且D关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
2．奇偶函数图像的特征：
定理奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴的轴对称图形。
f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y轴对称
点（x,y）→（-x,y）
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.证明方法
（1）定义法：函数定义域是否关于原点对称
（2）图像法：f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y轴对称
点（x,y）→（-x,y）3.若定义域就是让函数有意义则最值的方法很多，有1，配方法2，换元法3，基本不等式，4，单调性法，5，导数法6，数形结合7，向量法8，判别式法9，构造法，10，三角函数的有界性

Answer 2

请

追问

f（x）后面是怎么变出来的，能详细讲解一下吗，谢谢您

追答

Answer 3

f(-x)=(e^x-1)/(e^x+1)=(1-1/e^x)/(1+1/e^x)=-[e^(-x)-1]/[e(-^x)+1]=-f(x),  奇函数

Answer 4

都是奇函数。 y=[(cosx)^2]/(1-sinx)-1=[1-(sinx)^2]/(1-sinx)-1=(1+sinx)-1=sinx——奇函数； y=[(cosx)^2-(sinx)^2]／sinx=[1-2(sinx)^2]/sinx=1/sinx-2sinx——奇函数； y=(1+sinx-cosx)/(1+sinx+cosx)=[(1+sinx-cosx)^2]/[(1+sinx)^2-(cosx)^2] =[1+(sinx)^2+(cosx)^2+2sinx-2cosx-2sinxcosx]/[1+2sinx+(sinx)^2-(cosx)^2] =[2(1-cosx)(1+sinx)]/[2sinx(1+sinx)]=(1-cosx)/sinx=tan(x/2)——奇函数。
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