Question

高一对数题

函数y=log2(x)+logx(2x)的值域是

答案是（负无穷，-1）并上（3，正无穷）
请给解题过程，谢谢！

Answer 1

令a=log2(x)
即a=lgx/lg2
则logx(2x)=logx(2)+logx(x)=lg2/lgx+1=1/a+1
所以y=a+1/a+1
这里a≠0
所以a>0
a+1/a≥2√(a*1/a)=2
同理a<0则a+1/a≤-2
y=a+1/a+1
所以y≤-2+1=-1,y≥2+1=3
所以是（负无穷，-1]并上[3，正无穷）

Answer 2

原式=lgx/lg2+(lgx+lg2)/lgx=lgx/lg2+1+lg2/lgx
注意到lgx/lg2+lg2/lgx构成基本不等式，若lgx>0则gx/lg2+lg2/lgx>2
若lgx<0则gx/lg2+lg2/lgx<-2
综上，值域是若lgx>0则gx/lg2+lg2/lgx>2

Answer 3

y=log2x+logx(2x)
=log2x+log2(2x)/log2x
=log2x+(1+log2x)/log2x
=log2x+1/log2x+1
因为x>0且不等于1
所以log2x<0或log2x>0
所以log2x+1/log2x≤-2或log2x+1/log2x≥2
y≤-2+1=-1或者y≥2+1=3

∴函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)