Question

已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a3+b3=12

已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a3+b3=12a5+b2＝8,求数列anbn的前n项和

Answer 1

（1）∵{bn}是等比数列，首项为4，公比为2， ∴bn=4?2n-1=2n+1， ∵数列{an}是等差数列，且对任意的n∈N*，都有a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝n?2n+3， ∴a1b1=24，∴a1＝24 b1 ＝24 4 =4， a1b1+a2b2＝2?25， ∴a2b2＝2?25?24＝48， ∴a2=48 b2 =48 23 =6， ∴d=a2-a1=6-4=2， ∴an=4+（n-1）×2=2n+2． ∴Sn=（a1+a2+a3+…+an）+（b1+b2+…+bn） =[4n+n(n?1) 2 ×2]+4(1?2n) 1?2 =n2+3n+2n+2-4．（2）①∵a1=8，a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn＝n?2n+3， ∴8b1=24，解得b1=2，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则16+(8+d)?2q＝2?25 2?25+(8+2d)?2q2＝3?26 ，解得d=4，q=2