Question

一元一次方程的实际应用

Answer 1

一元一次方程的实际应用
方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.中考与竞赛对方程的实际应用的考查将进一步加强，它要求学生具有从实际问题中抽象出数学关系（建模），并用代数式和方程将这种关系表达出来的能力.设未知数是列方程的关键之一，未知数设得合适，就能清楚地体现题目中已知数和未知数的关系，方程的形式相应比较简单，解方程的计算量也较小，反之则不然.设未知数的方法随着具体问题的特点不同而不同，通常有直接设法、间接设法、辅助设法三种.巧设未知数，常常可以取得“化难为易”的效果.
一、 设直接未知数解实际问题
直接设未知数，是指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况.
例1、（重庆竞赛题）某人乘船由A顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米,若A、C两地的距离为10千米,则A、B两地之间的距离为多少千米?
解:设A、B两地的距离为 千米.
则①若C在A、B之间,可得 .解得
②若C在BA的延长线上,可得 .解得
答A、B两地之间的距离为20千米或 千米.
评注:由于C点位置不确定,所以要分类进行讨论.
二、 设间接未知数解实际问题
设间接未知数,是指所设的不是所求的,而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用.
例2、(江苏竞赛题)汽车以72千米/时的速度笔直的开向寂静的山谷,驾驶员按一声喇叭,4秒后听到回响,已知声音的速度是340米/秒,听到回响时,汽车离山谷的距离是多少米?
分析:设鸣笛时汽车离山谷 米,听到回响时汽车又开 ×4=80米,此间声音共行 米,于是有 ×4.
解得 米.所以听到回响时,汽车离山谷640米.
评注:本题若直接设未知数就就难以列出方程.
例3、 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个长方形色块图的面积为__________________.

分析：设正方形B、E的边长为 ，则A、C、D的边长为 、 、 .
由题意得 ，解得 .面积为 .
评注：（1）巧妙的设未知数，可起到“柳暗花明又一村”的效果；
（2）不能认为只有应用题才列方程.事实上方程在几何计算中也有广泛的应用.
三、 设辅助未知数解决实际问题
设辅助未知数(又称参数),就是为了使题中的数量关系更加明确.辅助未知数往往不需求出,可以在解题中自动消去(也称”设而不求”).
例4、(缙云杯邀请赛)一客轮逆水行驶.船上一名乘客掉了一件物品浮在水面上,等到乘客发现后,轮船立即掉头去追所掉的物品,已知轮船从掉头到追上这件物品用了5分钟,问乘客是几分钟后发现所掉的物品?
分析:设轮船的速度是 ,水的速度是 ,物品掉入水 分钟后才被发现,依题意有: 整理为: .
评注:本题属行程问题,题中条件只有时间,无法列方程,设了辅助未知数 、 就可以根据路程关系列方程了.
例5、（江苏竞赛题）某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售每件冬装的利润是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装的成本不变）.销售件数比9月份增加80%.那么该厂10月份销售这种冬装的利润总额比9月份的利润总额增长（ ）
A．2% B.8% C.40.5% D.62%
分析:设9月份每件冬装的出厂价为 元,则每件的成本为0.75 .10月份每件冬装的利润为(1-10%) -0.75 =0.15 .设9月份销售冬装 件,则10月份销售(1+80%) =1.8 件,所以10月份的利润总额与9月份相比,增加了
评注:本题同时运用了设间接未知数和设辅助未知数两种方法.
四、 运用整体思想解决实际问题
整体思想就是在研究某些实际问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考察问题的视角，将要解决的问题看作是一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构或作整体处理后解决问题.
例6、（希望杯竞赛题）设有六位数 乘以3后变为 ，试求 的值.
分析： 分别是五位数 各位上的数字，设五位数 ，由题意得 ，解得 ，所以 .
评注：（1）本题把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把 视为一个整体的元素，整体解决了，作为整体的元素也就迎刃而解.
（2）对于数字组成的数，一般地，一个十进制的 位数 可以表示为 ，其中 均为小于10的非负整数，且 .
例7、（北京迎春杯竞赛题）购买10种货物 ，如果购买件数分别为1、3、4、5、6、7、8、9、10、11件，共需1992元，如果购买件数是1、5、7、9、11、13、15、17、19、21件，则需3000元，那么各买一件共需多少元？
分析：设每件货物的定价依次为 ，则
①
②
① ②得
评注：本题看似复杂，明确求整体 就简单多了.