Question

高数积分化简

高数积分化简请问波浪线部分是怎么得到的呢？求步骤谢谢！

Answer 1

郭敦顒回答：
∫{[（tan^3）t+1]/ sec²t}dt=∫[（tan^3）t/sec²t] dt +∫（1/sec²t）dt，

dt=（cost）＇d（cost）=－sintd（cost），

（tan^3）t]/ sec²t＝［（sin^3）t／（cos^3）t］／（1／（cos²t）
＝（sin^3）t／cost，

∫[（tan^3）t/sec²t] dt=∫[－sin（^4）t /cost] d（cost）
=－∫[（cos² t－1）²/cost] d（cost）
=－∫[cos（^4）t +2cos²t－1）²/cost] d（cost）
=－∫[cos（^3）t +2cost－1/cost]] d（cost）

（1/sec²t）= cos²t=2cos²t/2=[（cos²t+sin²t）+（cos²t－sin²t）]/2
=（1+cos2t）/2

∫（1/sec²t）dt=∫[（1+cos2t）/2] dt，

∫{[（tan^3）t+1]/ sec²t}dt
=－∫[cos（^3）t +2cost－1/cost]] d（cost）+∫[（1+cos2t）/2] dt。
波浪线中∫[（cos²－1）/cost] d（cost）有误，
应是－∫[cos（^3）t +2cost－1/cost]] d（cost），
根源在于将－sin（^4）t误为了－sin²t。
波浪线中的变换是用三角函数的变换把左边的不便积分形式转换为便于积分形式的变换。

Answer 2

如下图，供参考。