Question

已知函数f(x)=-2x²+mx-3为（-5，-3+n）上的偶函数。 (1)求实数m、n的值。

已知函数f(x)=-2x²+mx-3为（-5，-3+n）上的偶函数。
(1)求实数m、n的值。
(2)、证明：f(x)在（-5，0]上是增函数。

Answer 1

解：
(1)偶函数定义域在数轴上关于0点对称。
-5=-(-3+n)
n=8
f(-x)=f(x)
-2(-x)^2+m(-x)-3=-2x^2+mx-3
2mx=0
在定义域上，对于任意x值，等式恒成立，则m=0
m=0 n=8
（2）
f(x)=-2x^2-3
对称轴x=0，二次项系数-2<0
x≤0时，函数单调递增；x>0时，函数单调递减。
因此f(x)在(-5,0]上是增函数。

Answer 2

因为是偶函数，所以区间（-5，-3+n）关于原点对称，

所以-5+(-3+n)=0,n=8

因为是偶函数,所以关于y轴对称，所以f(x)=-2x&sup2;+mx-3对称轴为x=0,

而x=m/4,所以m=0

Answer 3

(1)偶函数定义域在数轴上关于y点对称。
-5=-(-3+n),n=8.
偶函数关于y轴对称，f(x)=f(-x)，
-2x^2+mx-3=-2*(-x)^2+m*(-x)-3
2mx=0
若x=0,则m为任意实数；
若x≠0,则m=0.
（2）
当x=0时，f(x)=-3,
当-5<x<0时，
f(x)=-2x^2-3,设△x为微小增量，
f(x+△x）-f(x)=-2*(x+△x)^2-3+2x^2+3=-4x*△x-2*△x^2=-4x*△x(因2*△x^2很小，可忽略），x为负值，△x为正值，∴f(x+△x）-f(x)>0,f(x)为增函数。