Question

定积分定义

定积分定义求详细解答

Answer 1

定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干分点，a=x0<x1<x2<...<xn=b

把区间[a,b]分成n个小区间，各个小区间的长度为Δxi=xi-x(i-1)（这里i-1为下标，而且i为小于等于n的正整数），在各个小区间上任取一点ξi(ξi∈Δxi)，做乘积f(ξi)Δx并做和∑(n, i=1)f(ξi)Δx

记λ=max{Δx1, Δx2...Δxn}， 如果不论多[a,b]如何分也不论ξi取Δxi中的何位置，只要当λ->0时，和S总趋于确定的极限，这个极限便是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为

解释：因为定积分可以看为一个曲边梯形的面积

将一个曲边梯形梯形的面积分为n个长方形计算，其中，每一个长方形的底为Δxi，该长方形的高通过对应法则（即y轴上的投影）为f(ξi)，则长方形的面积就应该是f(ξi)Δx，曲边梯形的面积近似值就是∑(n, i=1)f(ξi)Δx

这时，如果我们取λ=max{Δx1, Δx2...Δxn}中的最大值而且将它趋于零，意味着所有的元素都应该趋于零(最大值趋于零看成其他数值的低阶无穷小理解)，那么面积的值将越来越精确。（趋于零，这里长方形的宽越来越小（可以理解为有面积的线段之和）），根据极限的定义，可以写成一个和的极限形式，这便是定积分的概念

当Δxi越来越小的时候，面积表示越来越精确

此外，题主给出的题目答案为：-1/6,可以先求t(t-1)的原函数，即为(t^3)/3-(t^2)/2,代入积分上下线相减得到结果-1/6

这里使用到了牛顿莱布尼茨公式。如果要用定积分的定义求，会相对比较麻烦。

Answer 2