Question

几何证明题

已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA
求证∠DBC：∠ABC=1：3
这道题本身就没有图，△ABC是任意三角形

Answer 1

如图，作△ABC，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA

∵BD=BA

∴∠BDA=∠BAD

又∵∠C=?∠A

∴∠BDA=2∠C

又∵∠BDA为△BDC的外角

∴∠BDA=∠C+∠DBC

∴2∠C=∠C+∠DBC

∴∠C=∠DBC

∴BD=AD=AB

∴∠A=60°  ∠C=30°=∠DBC

∴∠ABC=90°=3∠DBC

∴ ∠DBC：∠ABC=1：3

Answer 2

点D是△ABC内的一点,二楼的点D在AC边上，作图本身有错误。题意图形如下图：

Answer 3

（借用一下楼上的图）
以AD为一边向下作正三角形ADE，连接BE、CE。
设∠BCA = x，∠DCA = y。不妨设AC = 2。反复利用正弦定理与和差化积/积化和差，可以得到一系列等式：
BD = BA = 2 sin x/sin 3x
AD = 1/cos y
BD/sin (2x-y) = AD/sin 2(2x-y)
=> cos 2(x-y) = 1/2
=> x-y = 30°

∠CDE = 180° - 2y - 60° = 180° - 2y - 2(x-y) = 180° - 2x
=> CE/AD = CE/CD = 2 cos x

BE/AB = sin (2x - y + 60°)/sin 30° = 2 sin (x + 90°) = 2 cos x

BC/BD = BC/AB = sin 2x/sin x = 2 cos x

于是两个三角形ABD与EBC对应边成比例，从而相似。这样
∠ABD = ∠EBC
=> ∠CBD = ∠ABE
而由对称性，∠ABE = ∠DBE，于是∠CBD = 1/3 ∠ABC

Answer 4

画出图来
麻烦