Question

高二数学已知抛物线y²=2px(p＞0），过动点M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交与不同的两点A.B,|AB\≤2

已知抛物线y²=2px(p＞0），过动点M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交与不同的两点A.B,|AB\≤2p
（1）求a的取值范围
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值
请写一下过程
谢谢

Answer 1

（1）直线l：y=x－a，代入y^2=2px，

得x^2－2(a＋p)x＋a^2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），
0<|AB|=√2|x1-x2|=√[8p(p+2a)]≤2p
∴0<8p(p+2a)≤4p^2
解得：-p/2<a ≤-p/4
（2）设AB中点为Q，AB与x轴交于M，则△QMN为等腰直角三角形.
设Q（x0,x0-a),则x0=(x1+x2)/2=a+p,故Q(a+p,p).
∴|QM|=|QN|=√2p
∴S△NAB=1/2*|AB|*|QN|≤1/2*2p*√2p=√2p^2

Answer 2

推出：AB直线：y=(x-a)① 联立抛物线方程：x²-(2a+2p)x+a²=0→x1x2=a²,x1+x2=2a+2p,y1+y2=2p →AB²=√(1+k²)*(x1+x2)²-4x1x2=8√2*(ap+p²)② 因为:|AB|<2p→AB²≤4p²③ ②③→a≤p(√2-4)/4 (2):得中点M(a+p,p) 得AB垂直平分线：y-p=-(x-a-p)④ →N(2p+a,0)和AB直线与x轴交点C(a,0),NC=2p →(y1>0,y2<0),S△=S△ANC+S△BNC=NC/2*(y1-y2)=4ap-2p²=m 讨论m,m=-2(p-a)²+2a² →a≠p,→a=p(√2-4)/4取得最大值 →Smax=(√2-6)p²