有关高数的证明题

设函数f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f(0)<0,证:f(x)在[0,∞)上有且仅有一个零点。... 设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f(0)<0,证:f(x)在[0,∞)上有且仅有一个零点。 展开
解数学难题写程序代码
2010-12-10 · 解答高数线代概率,点睛考研数学,科研编程
解数学难题写程序代码
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有难度,细看以下步骤:
x>=0, f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 (Taylor公式)
(1)若 f ‘(0)>=0, 由f’‘(x)>0,所以,f '(x)> f ‘(0)>0,f(x)严格单增,
令f(0)+f'(0)x+(f''(s)x^2)/2 =0,由判别式可得:必存在x1=...>0, 使 f(x1)=0,
so it is easy to see f(x)在[0,∞)上有且仅有一个零点。
(2) 若 f ‘(0)<0,x->+无穷时, limf(x)=+无穷,所以,在x=0 的左邻域内,f(x)单减,所以f(x)在
x》0时,有极小值 f(x2)<f(0),f '(x2)=0, 显然可证 x2 唯一,且在[x2,+无穷),仿(1)分析即可
zz19910622
2010-12-10 · TA获得超过1529个赞
知道小有建树答主
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做f(x)在x=0处的泰勒展开
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(η)x²,η∈(0,x)
所以当x→+∞时,f(x)→+∞>0,而f(0)<0
由零值存在定理知,f(x)在[0,∞)上必有零点;
假设存在两个零点0<x1<x2使f(x1)=f(x2)=0
则在(0,x1)上存在α使f'(α)=[f(x1)-f(0)]/(x1-0)>0
在(x1,x2)上存在β使f'(β)=0
又f''(x)>0,即f'(x)要递增,f'(α)<f'(β)
与上面结论矛盾
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