Question

在三角形ABC中，∠ABC=90，AB=4，BC=3.O是边AC上的一个动点，以O为圆心作半圆，与边AB相切于点D ，交线段O

交线段OC于点E.作EP⊥ED，交射线AB于点P，叫射线CB于点F.
1)如图，求证三角形ADE∽三角形AEP；
(2)设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)当BF=1时，求线段AP的长.

Answer 1

（1）因为∠PED=90，所以∠EPD+∠PDE=90°
因为PD切圆心O于D，所以∠ADG=∠GED
又因为∠EDG=90°，∠ADG+∠PDE=90°
所以∠ADG=∠EPD=∠GED，，又因为∠A=∠A
△ADE∽△AEP；
（2）因为OA=X，OD平行CB，△ADO∽△ABC
AD=4/3X，AE=8/3X，因为△ADE∽△AEP，AE*AE=AD*AP
8/3X*8/3X=4/3X*Y，所以Y=16/3X，Y∠4，16/3X∠4，X∠3/4。
（3）Y=AP=16/3X，BP=4-AP=4-16/3X，△PBF∽△PED，
BF/BP=ED/EP，又因为△ADE∽△AEP，ED/EP=AE/AP，
所以BF/BP=AE/AP，1/4-15/3X=8/3X/16/3X，X=3/8，AP=16/3X=2

Answer 2

（1）证明：连接OD，
∵AP切半圆于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，
∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEP；

（2）解：∵△AOD∽△ACB，
∴0ACA=
ODCB=
ADAB，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∴OD=35OA，AD=45OA，
∵△ADE∽△AEP，
∴AEAP=
ADAE=DEEP，
∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=85OA，
∴AEAP=
ADAE=45OA85OA=12，
则y=165x（0＜x≤258）；

（3）解：情况1：y=165x，BP=4-AP=4-165x，
∵△PBF∽△PED，
∴BFBP=
EDEP，
又∵△ADE∽△AEP，
∴EDEP=
AEAP，
∴BFBP=
AEAP，
∴14-
165x=
85x165x，
解得：x=58，
∴AP=165x=2．
情况2：如图，半圆O的半径R较大时，EP交AB延长线于点P，P在B上方；交BC于点F，F在BC之间：可以得CF=CE，CE=CF=BC-BF=3-1=2过点E作EG⊥BC，
则EGAB=CGBC=CEAC=25，
解得，EG=85，CG=65，
FG=FC-CG=2-65=45，
PB：EG=FB：FG，
PB=85÷45=2，
AP=AB+PB=4+2=6．
故线段AP的长为2或6