Question

【急】设过点P(-2,4),倾斜角为135°的直线l与抛物线C相交于A,B两点

设过点P（－2，4），倾斜角为135°的直线L与抛物线C相交于两点A、B，抛物线C的顶点在原点且以x轴为对称轴,若|PA|、|AB|、|PB|成等比数列，试确定抛物线的方程

Answer 1

设抛物线的方程为y^2=mx.①
直线L的斜率=tan135°=-1，方程为
y=-x+2.②
代入①，整理得x^2-(m+4)x+4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=m+4,x1x2=4.
△=（m+4)^2-16=m^2+8m.
|AB|=√（2△）。
|PA|、|AB|、|PB|成等比数列，
<==>AB^2=|PA|*|PB|,
<==>2△=(√2）|x1+2|*（√2）|x2+2|,
<==>土△=x1x2+2(x1+x2)+4,
<==>土（m^2+8m)=8+2(m+4),
<==>m^2+6m-16=0,或m^2+10m+16=0,
<==>m1=-8,m2=2,m3=-2,
∴所求抛物线方程是y^2=土2x,或y^2=-8x.

Answer 2

由题意知直线l的方程为y＝－x＋2，
设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
由方程组，消去x得y2＋2my－4m＝0，
且点A、B的纵坐标y1，y2是方程y2＋2my－4m＝0的两实根，
∴y1＋y2＝－2m，y1·y2＝－4m.
∵P、A、B三点共线，且|PA|、|AB|、|PB|成等比数列，
则|y1－4|，|y1－y2|，|y2－4|也成等比数列，
即|y1－4|·|y2－4|＝|y1－y2|2≠0，
∴|y1y2－4(y1＋y2)＋16|＝(y1＋y2)2－4y1y2且y1≠y2，
∴|m＋4|＝m2＋4m，
且Δ＝4m2＋16m＞0，
∵m＜－4或m＞0，∴m＝1.
即所求抛物线方程为y2＝2x.