Question

一个正圆透视图是标准的椭圆么？

在生活中我们有许多正圆的物体，比如车轮一类的 ，从不同的角度看起来貌似都是椭圆，那这种椭圆是不是标准的椭圆？请给出严格数学证明

Answer 1

正圆投影后结果共有三类：
1.圆
就是正面投影，是与原来圆一样的圆
2.标准椭圆 ，就是你说的椭圆，证明在这儿写起来较麻烦，但肯定是标准椭圆，这毋庸置疑
3.直线
沿圆在的平面看过去就是一条直线了

§2—8
圆的投影
当圆平面倾斜于投影面时,它在该投影在上的投影为一椭圆。当圆平面平行于投影面时。它在该投影面反映圆的真形。当圆面颊垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚为一直线。

图2—43是圆心为C的一个水平圆的三面投影。根据投影面平行面的投影特性可知，水平线圆的水平线投影反映真形；正面投影和侧面侧面投影分别积聚成水平线，其长度都等圆面积的直径。

当圆倾斜于投影面时，其在投影面上的投影是椭圆。圆的每一对互相垂直的直径都投射成椭圆的一对共轭直径；而椭圆和各对共轭直径中，有一对是相互垂直的，成为椭圆的对称轴，也就是阿加的长轴和短轴。根据投影特性可知，椭圆的长轴是圆的平行于投影面的直径的投影，短轴是与其相垂直的直径的投影。

图2—44是圆心为C的一个正垂圆。由图2—44a可知正垂直圆的投影特性为：V面投影积聚成直线，其长度等于圆的直径；H面投影是椭圆，椭圆心是该圆圆心C的水平投影，长轴AB是垂直于V面的直径（在正垂圆的情况下是正垂线）AB的水平投影ab,长度等于直径；短轴DE是与AB垂直的直线（在正垂圆的情况下是正平线）DE的水平投影de，根据直角投影定理可知，de垂直于ab，投影图如图2—44b所示。当作出投影椭圆的长、短轴后，即可用四心圆法或同心圆法作近似椭圆或椭圆。

同理，在三面投影体系中也可推得这个正垂圆的侧面投影椭圆的长轴是 ，短轴是 （图中未示出）。
综上所述，可概括出圆的投影特性：
(1) 圆平面在所平行投影面上的投影反映真形。
(2) 圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径。：
(3) 圆平面在所平行投影面上的投影反映真形。
圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径。

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