Question

一道不定积分

麻烦给出详细过程，谢谢

Answer 1

解：令x=tanα/2 (-π/2﹤α﹤π/2)，
∴α=arctan(2x)，tanα=2x，secα=√(1+tan²α)=√(1+4x²)，
∴∫(1-x²)√(1+4x²)dx
=∫(1-tan²α/4)secαd(tanα/2)
=(1/2)∫(1-(sec²α-1)/4)sec³αdα
=(5/8)∫sec³αdα-(1/8)∫sec^5(α)dα
=-(1/32)sec³αtanα+(1/8)secαtanα+(1/8)ln|secα+tanα|+C
=-(1/16)x(1+4x²)√(1+4x²)+(1/4)x√(1+4x²)+(1/8)ln(2x+√(1+4x²))+C。

∫secxdx=ln|secx+tanx|+C
∫sec³xdx=(1/2)secxtanx+(1/2)ln|secx+tanx|+C
∫sec^5(x)dx=(1/4)sec³xtanx+(3/2)secxtanx+(3/2)ln|secx+tanx|+C