Question

跪求解答！

Answer 1

(1)由题可知：
设　A(x1,y1) 　B(x2,y2)
存在　(x2+a²/c)/(x1+a²/c)=1/2　且 x1+c=2(-c-x2)
可以解出 x1=(a²-3c²)/2c ,x2=-(a²+3c²)/4c
x²/a²+y²/b²=1 与　y=k(x+c), k=tan(60°)　联立消去y
得到　(b²+3a²)x²+6a²cx+3a²c²-a²b²=0　由韦达定理
x1+x2=-6a²c/(b²+3a²)　将上面求得的　x1=(a²-3c²)/2c ,x2=-(a²+3c²)/4c代入
得到　(a²-9c²)/4c=-6a²c/(b²+3a²) 用 b²=a²-c²消去b
得到 4(a²)²-13a²c²+9(c²)²=0 解得 c²/a²=4/9 或 c²/a²=1(舍)
故得到 e=c/a=2/3

(2)由题可知：
x²/a²+y²/b²=1 与　y=k(x+c), k=tan(60°)　联立消去y
得到　(b²+3a²)x²+6a²cx+3a²c²-a²b²=0
由 AB²=(1+k²)(x1-x2)²=(1+k²)[(x1+x2)²-4(x1x2)]=225/16　,k=tan(60°)
将韦达定理得到的　x1+x2=-6a²c/(b²+3a²)　与　x1x2=(3a²c²-a²b²)/(b²+3a²)　代入
再用 e=c/a=2/3　得到的c²=4a²/9, b²=5a²/9　消去b,c
(我就不列式子了)可求得　a=3
即有 a²=9 ,c²=4 ,b²=5　代入原题
x²/9+y²/5=1　即为所求

方法二：　
对于这种焦点弦问题用椭圆的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)来求解比较容易

(1)由题可知：
ρ(AF)=ep/(1-ecos(60°))
ρ(FB)=ep/(1-ecos(240°))
且ρ(AF)=2ρ(FB)
即(1-ecos(240°))=2(1-ecos(60°))
可以解出e=2/3
(2)由题可知：
ρ(AF)+ρ(FB)=15/4
又ρ(AF)=2ρ(FB)
故ρ(AF)＝5/2
将(1)中求出的　e=2/3　代入　ρ(AF)=ep/(1-ecos(60°))
得到p=5/2

即p=b²/c=5/2　又e=c/a=2/3
得到c²=4 ,b²=5 ,a²=9　代入原题
x²/9+y²/5=1　即为所求

ps:
至于　AF/FB=(1-ecosθ)/(1+ecosθ)
可以在做相关焦点弦(一定是圆锥曲线中过焦点的弦)关于焦点两段比例的选择题时当一个简单的公式
在知道焦点弦比例，离心率，和焦点弦斜率中两个大小的时候可以带入求未知量
例如此题：
代入　AF/FB=2，θ=60°，就可求出e=2/3
代入　e=2/3，θ=60°，就可求出AF/FB=2
代入　AF/FB=2，e=2/3，就可求出θ=60°