Question

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1,(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1垂直于PF2

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1,(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1垂直于PF2，|PF1|*|PF2|=4ab，求双曲线的离心率

Answer 1

e =√3 c=√(a^2+b^2) , 准线 :X =±a^2/C =±a^2 /(√a^2+b^2) ,F1(-√a^2+b^2 ,0) , F2(√a^2+b^2, 0)设 准线交X轴于Q , 因PF1⊥PF2 , 故|PF1|*|PF2|= 2c*PQ =4ab , PQ=2ab/√(a^2+b^2) 又 PQ^2=F1Q *F2Q = (c- 准线X ) (c+ 准线X)=c^2 - X^2 即 4a^2b^2 /(a^2+b^2) = a^2+b^2 - a^4/(a^2+b^2) , 得 b^2=2a^2 , 故 c^2= 3a^2 ,c=√3 a 所以双曲线的离心率 e=c/a =√3