Question

1^m+2^m+3^m+……+(n-1)^m+n^m=?

能用一个整体的公式（关于m，n的表达式）表示出来吗？？？？详解

Answer 1

待定系数法：设1^m+2^m+3^m+……+(n-1)^m+n^m=a(1)*n^(m+1)+a(2)*n^m+……+a(m+2)取n=k与n=k-1，得到两式，相减，得k^m=a(1)*k^(m+1)+a(2)*k^m+……+a(m+2)-(a(1)*(k-1)^(m+1)+a(2)*(k-1)^m+……+a(m+2)) =a(1)*k^(m+1)+a(2)*k^m+……+a(m+2)-(a(1)*(k^(m+1)-(m+1)k^m+……+(-1)^(m+1))+a(2)*(k^m-mk^(m-1)+……+(-1)^m)+……+a(m+2)) =∑(i=0,1，2，……，m) (-k^i∑(j=i+1，i+2，……，m+1)((-1)^(j-i)*a(m+2-j)*(jCi)))(jCi)=j!/(i!*(j-i)!)对应项系数相等(m+1)a(1)=1-∑(j=i+1，i+2，……，m+1)((-1)^(j-i)*a(m+2-j)*(jCi))=0 (i=0，1，2，……，m-1)a(1)=1/(m+1)，a(2)=1/2，a(3)=m/12，a(4)=0，a(5)=-m(m-1)(m-2)/720……这样，对于一个具体的m，你可以求出每一项的系数，进而求出公式但我不能推理出或猜出这些数字的规律如果你只要表示的话，我建议写成

Answer 2

∑n^m (范围在1到n)