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已知直线l过点M(4，0)且与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A、B两点，以炫AB为直径的圆恒过坐标原点O。求抛物线的标准方程...
已知直线l过点M(4，0)且与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A、B两点，以炫AB为直径的圆恒过坐标原点O。 求抛物线的标准方程
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设直线与抛物线交点P(x1,y1),Q(x2,y2)
设直线l方程,x=my+4,
代入抛物线,整理得 y^2-2pmy-8p=0
y1+y2=2pm,y1*y2=-8p (1)
x1*x2=m^2*y1*y2+4m(y1+y2)+16 (2)
以弦PQ为直径的圆恒过原点,向量OP*OQ=0
即x1*x2+y1*y2=0 (3)
(1)(2)(3)整理得 p=2
所以抛物线为 y^2=4x
焦点 (1,0)
设直线l方程,x=my+4,
代入抛物线,整理得 y^2-2pmy-8p=0
y1+y2=2pm,y1*y2=-8p (1)
x1*x2=m^2*y1*y2+4m(y1+y2)+16 (2)
以弦PQ为直径的圆恒过原点,向量OP*OQ=0
即x1*x2+y1*y2=0 (3)
(1)(2)(3)整理得 p=2
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