Question

如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M．

求证△DEF是等腰三角形
设∠FDE的度数为M,∠ACF的度数为N,试写出M和N的数量关系，并说明理由
若△DEF是等边三角形，BF=4，CE=1，试求△DEF的边长
若∠A=60，FM=4，MC=3，求BE长
希望可以详细解答，要是满意会加分，谢谢

Answer 1

证明 ： 因为D是中点 ，在直角三角形 bec中（直角三角形斜边中线定理）DF=1/2 BC,同上在直角三角形BEC中DE=1/2 BC，所以 DF=DE ，证得三角形 DEF 为等腰三角形。

2、M=2N
在直角三角形 AFC中 ，N=∠ACF=90-∠A.
M=∠FDE=180-∠EDC-∠FDB. 因为∠EDC=2∠EBC（BD=DE），∠FDB=2∠FCD.所以M=∠FDE=180-2∠EBC-2∠FCD。
∠EMC=∠EBC+∠FCD=90-∠ACF(直角△EMC)=∠A.（N=∠ACF=90-∠A.）
故M=∠FDE=180-2∠EBC-2∠FCD=180-2∠A=2N
3、△DEF是等边三角形，M=60=2N. N=30. EC=1 EM=√3/3 MC=2√3/3.
△EMC与△FMB相似，∠FBE=30.FM=4√3/3. FC=2√3. 在△FBC 中勾股定理 BC=2√7.
FD=DE=1/2BC=√7.
4、在△EBC 中勾股定理 EC=1 , BC=2√7.BE=√27

追问

下面的三小题如何解答

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已回答

BE=√27=3√3

Answer 2

∵BE⊥AC，CF⊥AB∴在△Rt△ABE中，∠A=60°那么∠ABE=30°在Rt△ACF中，∠A=60°那么∠ACF=30°∴在Rt△BFM中：∠FBM=∠ABE=30°那么BM=2FM=2×5=10厘米在Rt△CEM中：∠ECM=∠ACF=30°那么ME=1/2CM=1/2×4=2厘米∴BE=BM+ME=10+2=12厘米（利用30°所对直角边=斜边的一半求

追问

∵BE⊥AC，CF⊥AB∴在△Rt△ABE中，∠A=60°?