Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率是3分之根号6，F是左焦点，直线x-根号6

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的离心率是3分之根号6，F是左焦点，直线x-根号6y=0与椭圆交于A、B两点，且向量FA·向量FB=-1，求椭圆方程

Answer 1

(1)短轴一个端点到右焦点距离为√3，即a=√3，因为√3=√(b²+c²)=a所以e=c/a=√6/3，所以c=√2

所以b²=a²-c²=1
所以方程为：x²/3+y²=1
(2)两种情况分类讨论①当直线l斜率不存在时，l方程为：x=±√3/2，此时代入椭圆方程得：y=±√3/2所以|AB|=√3，S△=3/4
②当斜率存在时，l方程为y=kx+b，O到直线距离d=|b

|/√(1+k²)=√3/2.
所以b=±3(1+k²)/4，由椭圆对称性现在只讨论b>0情况，即b=√(3+3k²)/2.y=kx+√(3+3k²)/2与x²/3+y²=1联立整理得：

(1+3k²)x²+6k√(3+3k²)x+(3k²-3)/4=0

x1+x2=-6k√(3+3k²)/(1+3k²)，x1x2=(3k²-3)/(4+12k²)
|AB|=|x1-x2|√(1+k²)=√[(x1+x2)²-4x1x2]√(1+k²)
运算得|AB|=√(99k^4+114k²+3)/(1+3k²)
令k²=t则|AB|=f(t)=√3√(33t²+38t+1)/(1+3t)，f'(t)=0时解得t=2/3，此时f(t)为极大值。此时k²=2/3，|AB|=√123/3，S=√41/4>3/4
所以S△AOB最大值为√41/4。