Question

高中函数导数题

Answer 1

1. 定义域x≠1

   f'(x)=[(-1-a)/(x-1)²]e^(x-1)+[(x+a)/(x-1)]e^(x-1)

   =e^(x-1)(x²+(a-1)x-2a-1)/(x-1)²]

   [e^(x-1)]/(x-1)²>0

   令g(x)=x²+(a-1)x-2a-1= x∈(1,3)

   g(1)=1+a-1-2a-1=-a-1

   g(3)=9+3a-3-2a-1=a+5

   g(1)·g(3)=-(a+1)(a+5)<0时，即a>-1∪a<-5时，由连续函数零点定理 x∈(1,3)，g(x)一定存在零点，即f(x)必存在驻点 左-右+ 为极小值点；

   -5<a<-1时

   Δ=(a-1)²+8a+4=a²+6a+5<0→f(x)无零点

   a=-5 零点x=3 左+右+ 不是极值点。

   命题得证

2. 令g(x)=√x(1+½lnx) x>1

   g'(x)=(1+½lnx)/2√x+√x/2x-1=(2+½lnx)/2√x>0  g(x)为增函数

   g''(x)<0 g(x)为凸函数

   g'(1)=1→g(x)在(1,1)的切线为y=x 显然 x>1时g(x)=√x(1+½lnx)<x

   令h(x)=f(x)-e^(x-1)=[(x+a)/(x-1)]e^(x-1)-e^(x-1)

   h'(x)=e^(x-1)(x²+(a-1)x-2a-1)/(x-1)²]-e^(x-1)

   =e^(x-1)((a+1)x-2a-2)/(x-1)²

   极小值点x=2 h(2)>0→f(x)>e^(x-1)

   同理可证得x>1时，e^(x-1)>x

   ∴f(x)>e^(x-1)>x>√x(1+½lnx)
   

Answer 2

以上

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