Question

三角形ABC中,∠ACB=90°,AD是∠A的平分线,交BC于D,CH是AB边上的高,交AD于F,DE垂直AB于E.

求证:四边形CDEF是菱形

Answer 1

证明：∵AD是∠A的平分线

∴∠CAD=∠EAD

∵DE垂直AB

∴∠DEA=90

又∠ACB=90

∴∠DEA=∠ACB

在△ACD与△AED中

AD=AD，∠ACD=∠AED，∠CAD=∠DAE

∴ △ACD≌△AED

∴CD=DE

且AC=AE

连接EF

在△ACF与△AEF中

∠CAD=∠DAE，AF=AF，AC=AE

∴△ACF≌△AEF

∴CF=EF

在四边形CDEF中

DE⊥AB且 CH⊥AB

则DE‖CH   ∠CDE与∠FCD互补

CD=DE 且 CF=EF

可证明△CDF全等于△EFD

则∠DCF=∠DEF

所以四边形为平行四边形

又CD=DE

所以四边形CDEF为菱形