Question

已知函数f(x)=loga (1+X),g(x)=loga (1-x),其中(a>0且a≠1),

设h(x)=f(x)-g(x).
1.判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
2.若f(3)=2，求使h(x)>0成立的x的集合。

Answer 1

(1)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，

h(－x)＝f(－x)－g(－x)

＝log_a(1－x)－log_a(1＋x)

＝g(x)－f(x)＝－h(x)，

∴h(x)是奇函数．

(2)由f(3)＝2，得a＝2.

此时h(x)＝log₂(1＋x)－log₂(1－x)，

由h(x)>0即log₂(1＋x)－log₂(1－x)>0，

∴log₂(1＋x)>log₂(1－x)．

由1＋x>1－x>0，解得0<x<1.

故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0<x<1}．

Answer 2

1. h(x)=f(x)-g(x)

   =loga (1+X)-loga (1-x)

   =loga()

   所以，h(-x)=f(-x)-g(-x)

                     =loga()

                         =-loga()

                         =-h(x)

故，h(x)为偶函数