证明Y=SINX的绝对值在X=0处连续但不可导
我看到有答案是这样的,0≤|sinx|≤|x|,所以lim(x→0)|sinx|=0,所以y=|sinx|在x=0处连续lim(x→0+)[|sinx|-0]/x=lim...
我看到有答案是这样的,
0≤|sinx|≤|x|,所以lim(x→0) |sinx|=0,所以y=|sinx|在x=0处连续
lim(x→0+) [ | sinx|-0 ] / x =lim(x→0+) sinx / x =1
lim(x→0-) [ | sinx|-0 ] / x =lim(x→0-) -sinx / x =-1
左右导数不相等,所以y=|sinx|在x=0处不可导
我就第一处不明白,0≤|sinx|≤|x|,所以lim(x→0) |sinx|=0。 前的因为跟后的所以有关系吗?
而且|sinx|≤|x| 怎么知道的啊,画图? 那怎么分析啊。完全不懂连续这边的求解。 展开
0≤|sinx|≤|x|,所以lim(x→0) |sinx|=0,所以y=|sinx|在x=0处连续
lim(x→0+) [ | sinx|-0 ] / x =lim(x→0+) sinx / x =1
lim(x→0-) [ | sinx|-0 ] / x =lim(x→0-) -sinx / x =-1
左右导数不相等,所以y=|sinx|在x=0处不可导
我就第一处不明白,0≤|sinx|≤|x|,所以lim(x→0) |sinx|=0。 前的因为跟后的所以有关系吗?
而且|sinx|≤|x| 怎么知道的啊,画图? 那怎么分析啊。完全不懂连续这边的求解。 展开
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我来帮你分析下,你可以耐心地看看~
首先用图像的方法证明,当 0<x<π/2 时,sinx <= x ;
设单位圆圆心在坐标轴原点O,交x轴于点B。考虑第一象限中单元圆上的一点A,令角AOB=x ;
连接OA,AB,观察三角形OAB,由于是单位圆,底边OB=1;
过A点作OB的垂线交OB于点E,三角形OAB底边OB上的高就是AE,那么 AE=OA*sin(x)=sin(x)
三角形OAB面积=(1/2)*OB*AE=(1/2)*1*(1*sin(x))=(1/2)*sin(x) ;
单位圆的面积是π*1*1,那么扇形OAB面积=π*1*1*[x/(2π)]=x/2 ;
三角形OAB面积<扇形OAB面积 ,那么 (1/2)*sin(x)<x/2 ,即 0<sin(x)<x ,这里 0<x<π/2 ;
当 -π/2<x<0 ,0<-x<π/2 ,那么 0<sin(-x)<-x ,|sin(x)|=-sin(x)=sin(-x),|x|=-x ,即 |sin(x)|<|x| ;
当然当x=0,sin(x)=x=0 ;所以当 -π/2<x<π/2 ,有 |sinx|<=|x| ;
由 0<=|sin(x)|<=|x| ,利用两边夹定理,当x→0时,自然有|sin(x)|→0 ;下面我用定义严格来证
当x→0时,由极限定义就是任取 e>0 ,存在 d=(e/2)>0,当 |x-0|=|x|<d 时,
有 ||sin(x)|-0|=|sin(x)|<=|x|<d=e/2<e ,那么当x→0时,|sin(x)|→0 ;
而 |sin(0)|=0 ,所以 |sin(x)| 在0点连续;
导数的话就是你上面写的,由于右导数=1,左导数=-1,左右导数不相等所以|sin(x)|在0点不可导,这里分别求左右导数时其实用了一个极限,就是当 x→0 时,sin(x)/x →1 ;
希望对你有帮助,如还有不清楚的可以再细问;
满意请采纳,谢谢你~
首先用图像的方法证明,当 0<x<π/2 时,sinx <= x ;
设单位圆圆心在坐标轴原点O,交x轴于点B。考虑第一象限中单元圆上的一点A,令角AOB=x ;
连接OA,AB,观察三角形OAB,由于是单位圆,底边OB=1;
过A点作OB的垂线交OB于点E,三角形OAB底边OB上的高就是AE,那么 AE=OA*sin(x)=sin(x)
三角形OAB面积=(1/2)*OB*AE=(1/2)*1*(1*sin(x))=(1/2)*sin(x) ;
单位圆的面积是π*1*1,那么扇形OAB面积=π*1*1*[x/(2π)]=x/2 ;
三角形OAB面积<扇形OAB面积 ,那么 (1/2)*sin(x)<x/2 ,即 0<sin(x)<x ,这里 0<x<π/2 ;
当 -π/2<x<0 ,0<-x<π/2 ,那么 0<sin(-x)<-x ,|sin(x)|=-sin(x)=sin(-x),|x|=-x ,即 |sin(x)|<|x| ;
当然当x=0,sin(x)=x=0 ;所以当 -π/2<x<π/2 ,有 |sinx|<=|x| ;
由 0<=|sin(x)|<=|x| ,利用两边夹定理,当x→0时,自然有|sin(x)|→0 ;下面我用定义严格来证
当x→0时,由极限定义就是任取 e>0 ,存在 d=(e/2)>0,当 |x-0|=|x|<d 时,
有 ||sin(x)|-0|=|sin(x)|<=|x|<d=e/2<e ,那么当x→0时,|sin(x)|→0 ;
而 |sin(0)|=0 ,所以 |sin(x)| 在0点连续;
导数的话就是你上面写的,由于右导数=1,左导数=-1,左右导数不相等所以|sin(x)|在0点不可导,这里分别求左右导数时其实用了一个极限,就是当 x→0 时,sin(x)/x →1 ;
希望对你有帮助,如还有不清楚的可以再细问;
满意请采纳,谢谢你~
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