Question

证明Y=SINX的绝对值在X=0处连续但不可导

我看到有答案是这样的，
0≤|sinx|≤|x|，所以lim(x→0) |sinx|＝0，所以y＝|sinx|在x＝0处连续
lim(x→0+) [ | sinx|-0 ] / x ＝lim(x→0+) sinx / x ＝1
lim(x→0-) [ | sinx|-0 ] / x ＝lim(x→0-) -sinx / x ＝-1
左右导数不相等，所以y＝|sinx|在x＝0处不可导

我就第一处不明白，0≤|sinx|≤|x|，所以lim(x→0) |sinx|＝0。 前的因为跟后的所以有关系吗？
而且|sinx|≤|x| 怎么知道的啊，画图？ 那怎么分析啊。完全不懂连续这边的求解。

Answer 1

我来帮你分析下，你可以耐心地看看~
首先用图像的方法证明，当 0<x<π/2 时，sinx <= x ；
设单位圆圆心在坐标轴原点O，交x轴于点B。考虑第一象限中单元圆上的一点A，令角AOB=x ；
连接OA，AB，观察三角形OAB，由于是单位圆，底边OB=1；
过A点作OB的垂线交OB于点E，三角形OAB底边OB上的高就是AE，那么 AE=OA*sin(x)=sin(x)
三角形OAB面积=(1/2)*OB*AE=(1/2)*1*(1*sin(x))=(1/2)*sin(x) ；
单位圆的面积是π*1*1，那么扇形OAB面积=π*1*1*[x/(2π)]=x/2 ；
三角形OAB面积<扇形OAB面积 ，那么 (1/2)*sin(x)<x/2 ，即 0<sin(x)<x ，这里 0<x<π/2 ；
当 -π/2<x<0 ，0<-x<π/2 ，那么 0<sin(-x)<-x ，|sin(x)|=-sin(x)=sin(-x)，|x|=-x ，即 |sin(x)|<|x| ；
当然当x=0，sin(x)=x=0 ；所以当 -π/2<x<π/2 ，有 |sinx|<=|x| ；
由 0<=|sin(x)|<=|x| ，利用两边夹定理，当x→0时，自然有|sin(x)|→0 ；下面我用定义严格来证
当x→0时，由极限定义就是任取 e>0 ，存在 d=(e/2)>0，当 |x-0|=|x|<d 时，
有 ||sin(x)|-0|=|sin(x)|<=|x|<d=e/2<e ，那么当x→0时，|sin(x)|→0 ；
而 |sin(0)|=0 ，所以 |sin(x)| 在0点连续；
导数的话就是你上面写的，由于右导数=1，左导数=-1，左右导数不相等所以|sin(x)|在0点不可导，这里分别求左右导数时其实用了一个极限，就是当 x→0 时，sin(x)/x →1 ；
希望对你有帮助，如还有不清楚的可以再细问；
满意请采纳，谢谢你~