Question

举例说明复变函数与实变函数的区别

正在考试'紧急

Answer 1

1. Weierstrass 定理：设 f 是 C 的一个含有 0 的区域上的全纯函数，则存在自然数 n 使得 f(z) = z^n g(z), 其中 g 全纯并且 g(0)≠0

实变函数一般是提不出 z^n 这种东西的

2. 刚性定理（或者叫最大模原理）：设 f(z) 在 C 的一个区域上全纯，在其闭包上连续，如果 f 在边界上恒为 0，则 f 只能处处为 0

实函数没有这么硬，比如磨光核就是在边界上为 0 的非负光滑函数，并且积分=1

3. 紧复流形到 C 的全纯映射只能是常值映射

这个在实变函数里是绝对不可能有的定理，再次说明了复变函数的刚性，也就是非常硬，稍微加点条件就是常数。

4. 如果 f 在 C 的一个区域上全纯，并且在 z_0 的附近不是常值函数，那么 f 在 z_0 附近一定是开映射，并且不是一个分歧覆盖就是局部解析同胚。

这也是实变函数不可想象的结论，即便对一般的线性空间，也要满足一些比 “不是常数” 苛刻得多的条件才有开映射定理。

5. 对复变函数 f, 如果 f ' 存在，f '' 就存在，这样一直下去，就推出 f 全纯

但是很明显有一阶可导但二阶不可导的实变函数

6. Liouvielle 定理. C 上的有界全纯函数一定是常数

这个对实变函数也是不可想象的，比如 arctan x 就是 R 上的有界光滑函数，但不是常数

7. 全纯函数一定是调和函数，故满足平均值原理。

但是实变的光滑函数有很多都不是调和函数，比如平面上的函数 z = x^3 + y^3