Question

高二数学双曲线题

设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（0<a<b）的半焦距为c，直线L过（a，0）（0，b）两点，若原点到直线L的距离为√3/4 c，则双曲线的离心率为？

Answer 1

因为直线L过（a,0），（0,b）两点，可得直线L的方程为bx+ay-ab=0
因为原点到直线的距离为根号3／4c，则得a²b²／（a²+b²）＝3／16·（a²＋b²），即b²／a²＝1／3或b²／a²＝3
又因为双曲线的e²＝c²／a²＝（a²＋b²）／a²＝1＋b²／a²，且双曲线的离心率e＞1,则b²／a²=3，所以e²=4，即e＝2

Answer 2

1 通过（a，0）（0，b）求得直线L为 bx+ay-ab=0
2 再有点到直线的距离公式求得√3c^2=4ab
因为双曲线离心率大于1，所以化简得e^2=4
即e=2