Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标分别为A（10,0），C(0,4),

已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标分别为A（10,0），C(0,4),点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当三角形ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P坐标

Answer 1

因为P在BC上，设P点坐标为(p,4)，0≤p≤10
D是OA中点，所以D点坐标为(5,0)
（1）
当D为等腰三角形的顶点时
PD=DO=5
PD²=(p-5)²+(4-0)²=25
(p-5)²=25-16
(p-5)²=9
p-5=±3
p=5±3
p=2或p=8

(2)
当O为等腰三角形的顶点时
PD=OP=5
OP²=p²+4²=5²
p²=9
p=±3
因为p的取值范围是0≤p≤10
所以解得p=3

综上所述P点坐标为
P(2,4)或P(3,4)或P(8,4)

Answer 2

：∵C（0，4）D（5，0），
∴OC=4，OD=5，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，∠PCO=90°，
∵OCOA=12，C（0，4），
∴OC=4，OA=10，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=10，BC∥OA，
∴B（10，4），
分为两种情况：①当OP=OD=5时，在Rt△OCP中，由勾股定理得：CP=52-42=3，
即P的坐标是（3，4）；
②以D为圆心，以5为半径作弧，交CB于P、P′，此时DP=DP′=5=OD，过D作DE⊥CB于E，
∵在Rt△EDP中，DE=OC=4，由勾股定理得：PE=3，
∴CP=5-3=2＜BC，
∵P在BC上，BC∥OA，B（10，4），
∴P的坐标是（2，4）；
当在P′处时，CP′=5+3=8＜BC，
∵P′在BC上，BC∥OA，B（10，4），
此时P′的坐标是（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．