Question

已知函数g(x)=ax²-2ax+1+b（a不等于0，b>1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1，设f(x)=g(x)/x,

求常数a,b的值
求f(x)的最大最小值,单调递增递减区间

Answer 1

答：
g(x)=ax²-2ax+1+b=a(x-1)²+1+b-a
抛物线g(x)的对称轴x=1
a<0时：g(x)在[2,3]上是减函数
g(2)=4a-4a+1+b=4
g(3)=9a-6a+1+b=1
解得：a=-1，b=3
a>0时：g(x)在[2,3]上是增函数
g(2)=4a-4a+1+b=1
g(3)=9a-6a+1+b=4
解得：a=1，b=0
b=0不符合b>1，a>0的假设不成立
综上所述，a=-1，b=3

f(x)=g(x)/x=(-x²+2x+1+3)/x=-x+4/x+2
对f(x)求导得：
f'(x)=-1-4/x²<0恒成立
所以：f(x)在x>0或x<0时都是单调递减函数
所以：f(x)不存在最大值也不存在最小值
单调递减区间为（-∞，0）或者（0，+∞）