Question

用积分计算旋转体体积的问题。曲线y=根号下x, x=1, x=4 和 x轴 围成的曲边梯形绕x轴旋转一周

求体积、质量（已知点密度公式）。请帮忙看下我算的对么？包括点密度 我算的公式对吗？ 答案给的质量M 在积分号前多了一个1/2 是怎么来的呢？ 详细题目见照片， 谢谢
正确答案 dM= 1/2 πR^4 dx = 1/2 πy^4 dx 。 其中R为x处的旋转半径 我怎么都没算出1/2是怎么来的 还是我算的点密度不对吗？？

Answer 1

解答过程如下：

几何意义

设Δx是曲线y = f(x）上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高阶无穷小），因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

Answer 2

由于密度变化先要搞个积分把密度变化搞定，然后由于体积变化再搞个积分把体积变化高定。你这默认了一个原片中的密度是一样的，举个例子y取1，x取1，你就把整个的那个小圆片上密度带进去算都是1了.

Answer 3

Answer 4

你计算的是对的啊

追问

可是正确答案 dM= 1/2 πR^4 dx = 1/2 πy^4 dx 。 其中R为x处的旋转半径
我怎么都没算出1/2是怎么来的 还是我算的点密度不对吗？？

追答

这个嘛，我觉得答案也有可能出错。