Question

有关复数的证明

求证：对于任意的正整数n，都有（cosx+isinx）^n=cos(nx)+isin(nx)（其中x是任意实数，i是虚数单位）
注：我是高二学生，使用的是人教版教材，已经学了必修1~5和选修2系列的1和2。

Answer 1

这个用数学归纳法。
当n=1时，左边=cosx+isinx;
右边=cosx+isinx
故 n=1时，结论成立。
当n=k时，设结论成立。即有（cosx+isinx）^k=cos(kx)+isin(kx)
则当m=k+1时，右边=cos((k+1)x)+isin((k+1)x);
左边=(cosx+isinx)^(k+1)=((cosx+isinx）^k)*(cosx+isinx)
=(cos(kx)+isin(kx))*(cosx+isinx)
=cos(kx)cosx-sin(kx)sinx+cos(kx)*isinx+isin(kx)*cosx
=cos((k+1)x)+isin((k+1)x)(用到了三角函数和的展开式)

Answer 2

数学归纳法。复数的三角形式二项式定理都可