广义积分∫（0，正无穷）e^(-x^2)dx的值除了用Γ 函数去求外有木有直接的解法，微积分急求
有木有类似于∫（0，正无穷)sinx/xdx那样通过构造出一个特殊的二重积分然后通过使用不同的积分顺序就能求出答案~有的话请给出谢谢~...
有木有类似于∫（0，正无穷)sinx/xdx那样通过构造出一个特殊的二重积分然后通过使用不同的积分顺序就能求出答案~有的话请给出谢谢~
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3个回答
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用重积分，极坐标
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考虑∫∫(D=R^2)e^(-(x^2+y^2))dxdy,用极坐标变换易得其值为π
而将其化为累次积分为
=∫(-∞,+∞)dx∫(-∞,+∞)e^(-(x^2+y^2))dy
=∫(-∞,+∞)e^(-x^2)dx∫(-∞,+∞)e^(-y^2)dy
=(∫(-∞,+∞)e^(-x^2)dx)^2
=π
故∫(-∞,+∞)e^(-x^2)dx=根号π
故∫(0,+∞)e^(-x^2)dx=根号π / 2
而将其化为累次积分为
=∫(-∞,+∞)dx∫(-∞,+∞)e^(-(x^2+y^2))dy
=∫(-∞,+∞)e^(-x^2)dx∫(-∞,+∞)e^(-y^2)dy
=(∫(-∞,+∞)e^(-x^2)dx)^2
=π
故∫(-∞,+∞)e^(-x^2)dx=根号π
故∫(0,+∞)e^(-x^2)dx=根号π / 2
追问
这个正无穷到负无穷的怎么求出来的......
追答
我第1行写的那个二重积分的积分区域D=R^2,所以两个一重积分的积分区域是负无穷到正无穷
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