Question

一个数学证明题

. Prove the following theorem: for all integers a, b and c, if a does not divide b- c
then a does not divide b or a does not divide c. Hint: an indirect proof would work
well.
对于所有的整数abc，如果a不能被b-c整除，那么a不能被b整除或者不能被c整除 （提示：用间接证明）

谢谢~~

Answer 1

证明：如题，a不能被b-c整除
即(b-c)/a=k，k不能为整数
即(b-c)/a=k，k为整数，等式不能成立
即b/a-c/a=k，k为整数，等式不能不成立
即b/a=k1，c/a=k2，k1k2均为整数不能成立
即k1k2其中一个不为整数或者两个都不为整数
即a不能被b整除或者不能被c整除
得证
PS：a divides b- c应该是(b-c)/a吧，a does not divide b- c即(b-c)/a=k，k不能为整数

Answer 2

用反证法：若a能被b整除且（“或”的反面为“且”）能被c整除，则：
存在整数k1,k2，使得：b=k1*a,c=k2*a
∴b-c=(k1-k2)*a
∴a能被b-c整除，矛盾！
∴a不能被b整除或者不能被c整除

追问

∴b-c=(k1-k2)*a
∴a能被b-c整除，矛盾！
这一步 是怎么的出来的啊？
b-c=(k1-k2)*a 左右同除b-c得到：
1=((k1-k2)*a)/(b-c) 左右同除k1-k2得到：
1/(k1-k2)=a/(b-c)

1/(k1-k2)不是整除啊...怎么是整除呢？

谢谢

追答

a does not divide b- c，这句话的意思是a不能整除b-c……不是a不能被b-c整除……

Answer 3

可以用反证法证明：假设a能被b整除且能被c整除，这样a就能被b-c整除，于是就可以看出，这与已知相矛盾，所以假设是错误的，因此原命题的结论正确

追问

假设a能被b整除且能被c整除，的不出来a就能被b-c整除啊

Answer 4

b=ak+m(0<=m<=a)
c=ah+n(0<=n<=a)
b-c=a(k-h)+m-n
m-n<>0,|m-n|<>a>>>a>m>n>=0 or 0<=m<n<a
不管那种情况，都可得a不能被b整除或者a不能被c整除

Answer 5

不对吧，100 不能被 3 (5-2) 整除，但却可以被 5 和 2 整除

追问

不是..前提为假，推出假 不能证明这个命题是false的 。
只有前提为真，推出假

追答

没错呀。
如果 a 不能被 b-c 整除，那么 a 不能被 b 整除或者不能被 c 整除。
如果100 不能被 5-2 整除，那么100不能被 5 整除或者不能被 2 整除。
显然错误。