Question

已知函数f(x)=ax-lnx、g(x)=lnx/x都定义在[1，e]上，其中e是自然常数。

1 当a=e时，关于x的不等式f（x）>=m-g（x）恒成立，求实数m的取值范围；
2 若h（x）=x2[1-g‘（x）]，当a>1时，对于全部x1属于[1,e],存在x0属于[1,e],使f（x1）=h（x0），求实数a的取值范围

Answer 1

答：f(x)=ax-lnx，g(x)=lnx/x都定义在[1,e]上
1）
a=e时，f(x)=ex-lnx
不等式f(x)>=m-g(x)恒成立
ex-lnx>=m-lnx/x
m<=ex-lnx+lnx/x
设h(x)=ex-lnx+lnx/x
求导：h'(x)=e-1/x+1/x^2-lnx/x^2=e-1/x+(1-lnx)/x^2
因为：1<=x<=e
所以：-1<=-1/x<<=-1/e，1-lnx>=0
所以：h'(x)>0
所以：h(x)是增函数
所以：h(x)>=h(1)=e-0+0=e>=m
所以：m<=e
2）
g'(x)=(1-lnx)/x^2
h(x)=(x^2)[1-g'(x)]=x^2-(1-lnx)=x^2+lnx-1
f(x)=ax-lnx=h(x0)，对于任意x属于[1,e]，存在x0属于[1,e]
a>1，f'(x)=a-1/x>0，f(x)是增函数
f(1)=a，f(e)=ae-1，a<=f(x)<=ae-1
所以：h(x)在[1,e]上的值域包含值域[a,ae-1]
h'(x)=2x+1/x>0，h(x)为增函数
h(1)=1+0-1=0，h(e)=e^2+1-1=e^2
h(x)的值域为[0,e^2]
所以：
a>=0
ae-1<=e^2
结合a>1解得：1<a<=e+1/e