Question

线性变换的题，求详细解释

Answer 1

[1.

特征的数学意义

]

我们先考察一种线性变化，例如

x,y

坐标系的椭圆方程可以写为

x^2/a^2+y^2/b^2=1

，

那么坐标系关于原点做旋转以后，

椭圆方程

就要发生变换。

我们可以把原坐标系的

(x,y)

乘以一个矩阵，

得到一个

新的

(x',y')

的表示形式，

写为算子的形式就是

(x,y)*M=(x',y')

。

这里的

矩阵

M

代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。那么，有没有什么

样的线性变换

b(b

是一个向量

)

，使得变换后的结果，看起来和让

(x,y)*b

像是一个数

b

乘以了一个数字

m*b?

换句话说，有没有这样

的矢量

b

，

使得矩阵

A*b

这样的线性变换相当于

A

在矢量

b

上面的投

影

m*b?

如果有，那么

b

就是

A

的一个特征向量，

m

就是对应的一

个特征值。

一个矩阵的特征向量可以有很多个。

特征值可以用特征方

程求出，

特征向量可以有特征值对应的方程组通解求出，

反过来也一

样。例如，设

A

为

3

阶实对称矩阵，

a1=(a,-a,1)T

是

Ax=0

的解，

a2=(a,1,-a)T

是

(A+E)x=0

的解，

a≠2,

则常数

a=?

因为

a1=(a,-a,1)T

是

Ax=0

的解

,

说明

a1=(a,-a,1)T

是

A

的属于

0

的特征向量，

a2=(a,1,-a)T

是

(A+E)x=0

的解，说明

a2=(a,1,-a)T

是

A

的属于

-1

的特征向量。

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量式正交的，

所以

a^2-a-

a=0,a≠2,

所以

a=0

。

Answer 2

证明是线性变换就是证明其加法和数乘运算，第一问，对于X和Y，σ(X+Y)=B(X+Y)-(X+Y)B=(BX-XB)+(BY-YB)=σ(X)+σ(Y)，σ(kX)=B(kX)-(kX)B=k(BX-XB)=kσ(B)，因此σ是线性变换。第二问也一样，σ(X+Y)=B(X+Y)C=BXC+BYC=σ(X)+σ(Y)，σ(kX)=B(kX)C=kBXC=kσ(B)，因此σ是线性变换。

Answer 3

还没学。。。。你这是选修？

Answer 4

问老师去吧