Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A/B/C. 　　(1)如图(1)，当AB∥CB/时，设AB与CB/相交于D.证明：△A/ CD是等边三角形；　　【解】　　（2）如图(2)，连接A/A、B/B，设△ACA/和△BCB/的面积分别为　　S△ACA/和S△BCB/. 求证：S△ACA/∶S△BCB/=1∶3；　　【证】　　（3）如图(3)，设AC中点为E，A/ B/中点为P，AC=a，连接EP，当θ=_______°时，EP长度最大，最大值为________.

Answer 1

解：（1）
∵AB∥CB/′，
∴∠B=∠BC B/=30°，
∴∠A/CD=60°，
又∵∠A/=60°∴∠A/CD=∠A/=∠A/DC=60°，
∴△A′CD是等边三角形；2/在Rt△ACB中∠ABC=30°
∴AC:BC=1:根号3
又∵旋转角度为θ
∴∠ACA'=∠BCB'
又∵将△ABC旋转到△A1B1C
∴AC=A'C CB=CB'
∴AC:BC=A'C:B'C=1:根号3
∴△ACA'相似与△BCB'
∴S1∶S2＝1的平方：根号3的平方=1：3
3/120° 2分之3a