Question

求不定方程x^2+3y^2=z^2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0的一切整数解的公式。要详细的解答过程

求不定方程x^2+3y^2=z^2,(x,y)=1,x>0,y>0,z>0的一切整数解的公式。要详细的解答过程不懂的就请不要参加了！

Answer 1

这是从勾股数出来的变式；对于x^2+y^2=z^2,其整数解为x=m^2-n^2 y=2mn z=m^2+n^2(其中：m,n为正整数（m,n)=1）仿此，对于本题：可以设x=am^2-bn^2 y=2mn z=am^2+bn^2(其中（a,b)=1,(m,n)=1)代入方程，则：（ am^2-bn^2 ）^2+3(2mn)^2=(am^2+bn^2)^2化简得：4ab=12，即ab=3又因为a,b为正整数，所以a=1,b=3a或a=3,b=1所以整数解为x=m^2-3n^2 y=2mn z=m^2+3n^2或x=3m^2-n^2 y=2mn z=3m^2+n^2其中m,n为正整数且（m,n)=1

Answer 2

模拟勾股数的公式推导过程首先x与z互素否则如果两个数都含有素因数P ，那么z�0�5-x�0�5=(z+x)(z-x)=3y�0�5含有因数p�0�5,由于3不是完全平方数，它不可能含有p�0�5因数，所以y也含有素因数p，这和x y互素矛盾假设y的素因数分解是y=P1*P2*..Pn(当然P1 P2...Pn可能重复)那么(z+x)(z-x)=3P1�0�5*P2�0�5...Pn�0�5 其中z+x z-x互素可以说明z+x=3P1�0�5P2�0�5...Pm�0�5 z-x=Q1�0�5Q2�0�5...Qn�0�5或者z+x=P1�0�5P2�0�5...Pm�0�5 z-x=3Q1�0�5Q2�0�5...Qn�0�5(其中P1 P2..Pn与Q1 Q2...Qn没有重复的数)于是答案就是z=(a�0�5+3b�0�5)/2 x=(a�0�5-3b�0�5)/2 y=3a�0�5b�0�5或者z=(3a�0�5+b�0�5)/2 x=(3a�0�5-b�0�5)/2 y=3a�0�5b�0�5其中a b是互素的整数