Question

如图，三角形ABC，三角形CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE、AD与BC

如图，三角形ABC，三角形CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE、AD与BC、BE与CD分别交于点O，点P，点Q。 求证PQ分之1=AC分之1+CE分之1

Answer 1

证明：∵AC=BC；CD=CE，∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD
∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE
且∠CAP=∠CBQ；
∵∠BCQ=180°-∠BCA-∠DCE=60°=∠ACP
又∵AC=BC
∴△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ
且CP=CQ，易证△CPQ为等边△，
∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE
∴△DPQ∽△DAC
DP/PQ=DA/AC
同理：BQ/PQ=BE/CE
∴DP/PQ+BQ/PQ=DA/AC+BE/CE
(DP+BQ)/PQ=DA/AC+BE/CE
∴(DP+AP)/PQ=DA/AC+BE/CE
DA/PQ=DA/AC+BE/CE
∴1/PQ=1/AC+1/CE