Question

概率统计独立性问题

高射炮对一架飞机进行三次独立射击，每次射击的命中率为0.6，而飞机中一弹、中二弹、中三弹被击落的概率分别为0.2、0.6、1.0 求 （1）射击三次后飞机被击落的概率 （2）已知飞机被击落，问飞机恰好中二弹的概率。

Answer 1

（1）
P(射击三次后飞机被击落)
= P(射击三次后飞机恰好中一弹，并且飞机在第三次射击中弹)P(飞机中一弹被击落) + P(射击三次后飞机恰好中两弹，并且飞机在第三次射击中弹)P(飞机中两弹被击落) + P(射击三次后飞机恰好中三弹)P(飞机中三弹被击落)

P(射击三次后飞机恰好中一弹，并且飞机在第三次射击中弹)=0.4*0.4*0.6=0.096

P(射击三次后飞机恰好中两弹，并且飞机在第三次射击中弹)=2*(0.4*0.6)*0.6=0.288

P(射击三次后飞机恰好中三弹)=0.6*0.6*0.6=0.216

所以
P(射击三次后飞机被击落)
= 0.096*0.2+0.288*0.6+0.216*1.0
=40.8%

（2）
P(在飞机被击落的条件下飞机恰好中二弹)
=P(飞机恰好中二弹 并且 飞机被击落)/ P(飞机被击落)

P(飞机中二弹被击落) = 0.6
P(飞机被击落) = P(飞机中一弹)P(飞机中一弹被击落)+P(飞机中两弹)P(飞机中两弹被击落)+P(飞机中三弹)P(飞机中三弹被击落)

P(飞机中一弹) = P(射击一次飞机被击中)+P(射击一次飞机没被击中，射击第二次飞机被击中)+P(射击两次飞机没被击中，射击第三次飞机被击中)
=0.6+0.4*0.6+0.4*0.4*0.6
=0.936

P(飞机中两弹) = P(射击两次飞机被击中)+P(射击三次飞机被击中两次)
=0.6*0.6+C(3,2)*0.6*0.6*0.4=0.792

P(飞机中三弹) =P(射击三次飞机都被击中) = 0.6*0.6*0.6 = 0.216

所以
P(飞机被击落)
=0.936*0.2 + 0.792*0.6 + 0.216*1
0.1872+0.48+0.216 = 0.8832

所以
P(在飞机被击落的条件下飞机恰好中二弹)
=0.6/0.8832=68%

Answer 2

（1）命中一次就击落：3×0.4×0.4×0.6×0.2
命中两次击落：3×0.4×0.6×0.6×0.8×0.6
三次击落：0.6×0.6×0.6×0.8×0.4
总的：
（2）3×0.4×0.6×0.6×0.8×1
结果自己算吧。