Question

帮帮我吧！我急啊！！！

如图,RT三角形ACB全等RT三角形BDE,角ACB=角BDE=90度,点B,C,D在同一条直线上,CM是角ACB的平分线，过点D做DF垂直CM，垂足为F，连接AE交CD于点N。
（1）探索：请判断线段DF、AE的位置关系，并证明。
（2）猜想：线段DF、AE的数量关系，并证明。

这是原图

这是按照题目画好的

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Answer 1

这道题是我们的月考题，老师讲过，第二小题我们不要证明，老师讲的都忘了，第一题还记得，和楼主分享一下吧。我的图M是在AN和CF交点上的

解：DF∥AE
证明：∵Rt△ACB≌Rt△BDE，∴AB=BE, ∠CAB=∠DBE（全等三角形对应边、对应角相等）
∴∠BAE=∠AEB（等边对等角）
又∵∠DNE是△BNE的外角，∴∠DNE=∠DBE+∠AEB(外角定理)
∴∠DNE=∠DBE+∠AEB=∠CAB+∠BAE=∠CAN（等量代换）
又∵∠DNE=∠ANC（对顶角相等），∴∠ANC=∠CAN（等量代换）
∴AC=CN（等角对等边）
又∵CM平分∠ACB，∴CM⊥AN（三线合一）
又∵DF⊥CM ∴∠F=∠CMN=90°（垂直定义）
∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行）
得证。
希望能对您有用
第二小题结论是AE=2DF，如果楼主知道第二小题如何证明，能告诉我吗？谢谢！

Answer 2

延长AC至G，使CG=DE，连接GE，易知四边形CGED为矩形，
——》GE=CD=BC+BD=AC+CG=AG，
——》∠CAN=45°=∠CNA，
（1）、判断线段DF∥AE，
CM平分∠ACB，——》∠FCD=45°，
DF⊥CM，——》∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠CNA，
——》DF∥AE(同位角相等)；
（2）、判断AE=2DF，
在等腰直角三角形AGE中，AE=v2GE=v2CD，
在等腰直角三角形CDF中，CD=v2DF，
——》AE=v2CD=v2*v2DF=2DF。