Question

数学截长补短题

已知三角形ABC是等边三角形，D为三角形外的一点，且角BDC=120度。求证：DA=DB+DC

Answer 1

证明：∵∠BAC+∠BDC=60+120=180(度)，∴ ABDC四点共圆。

取弦CE=BD，则⌒CE=⌒BD，而∠1+∠2=(1/2) (⌒AE+⌒BD)

=(1/2)(⌒AE+⌒CE)=(1/2)⌒AC=60(度)。

延长DC、AE交于F，∵∠3=(1/2)(⌒AB+⌒BC)=120(度)，∴∠4=60(度)，

已证∠1+∠2=60(度)，又∠6=(1/2)⌒AB=60(度)，∴∠5=180-60-60=60(度)，

∴△ECF为等边△，∴CF=CE=BD、∠F=∠7=60度，

∴△ADF为等边△，∴AD=DF，又AD=DC+CF，已证CF=BD，

∴AD=BD+DC。