Question

设数列Xn有界,又limYn=0 证明limXnYn=0

Answer 1

证明：

∵数列{Xn}有界，因此：∀ Xn∈{Xn}，∃ M>0，当 n>N1时（N1∈N），

∴|Xn|≤ M成立

又∵lim(n→∞) Yn = 0

∴∀ ε' >0，∃ N2∈N，当 n>N2时，必有：|Yn- 0| < ε'成立

即：|Yn|< ε'

显然：|Xn|·|Yn| < ε'M 成立，此时n=max{N1,N2}

令ε=ε'M，则：∀ ε>0

|Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立

∴必有：lim(n→∞) XnYn =0

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M（其中M是与n无关的常数） 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。

对一切n 有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。

一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

Answer 2

用定义证明即可，答案如图所示

Answer 3

证明： ∵数列{Xn}有界，因此： ? Xn∈{Xn}，? M>0，当 n>N1时（N1∈N）， ∴|Xn|≤ M成立又∵lim(n→∞) Yn = 0 ∴? ε' >0，? N2∈N，当 n>N2时，必有： |Yn- 0| < ε'成立即：|Yn|< ε' 显然： |Xn|·|Yn| ε'M 成立，此时n=max{N1,N2} 令ε=ε'M，则： ? ε>0 |Xn|·|Yn| = |XnYn| < ε 恒成立 ∴必有： lim(n→∞) XnYn =0

Answer 4

如图