Question

已知｛an｝是公差不为0的等差数列，｛bn｝是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2,2a4=b3，且存在常数拜托各

已知｛an｝是公差不为0的等差数列，｛bn｝是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2,2a4=b3，且存在常数α，β，使得an=logαbn+β对每一个正整数n都成立，则α的β次方=

Answer 1

设{an}公差为d,{bn}公比为q, 则an=a1+(n-1)d=2+(n-1)d, bn=b1q^(n-1)=q^(n-1) ∴a2=2+d, a4=2+3d, b2=q, b3=q ∴b3=b2, 则2a4=a2 ∴2(2+3d)=(2+d), 整理得d-2d=d(d-2)=0 d≠0, ∴d=2, b2=a2=4, 即q=4 ∴an=2+2(n-1)=2n, bn=4^(n-1) an=logαbn+β对任意n都成立 令n=1,则2=β, an=logαbn+2 令n=2,则4=logα 4+2, ∴logα 4=2, α=2, α=2 ∴α^β=2^2=4