Question

线性代数问题，要完整的过程和答案，多谢，共7题之6

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Answer 1

(1)由已知, 存在 非零向量α满足 Aα = -α
所以 A^2α = A(Aα) = A(-α) = -Aα = -(-α) = α
所以 1 是A^2 的特征值
(2) 设A=E2=
1 0
0 1
则 1 是 A^2 = A = E 的特征值
但 -1 不是 A 的特征值, A 的特征值为 1, 1

Answer 2

-1 是 A 的特征值，则 Ax=-x， 得
(A^2)x = A(Ax) = A(-x) = -(Ax) = -(-x) = x
则 1 是 A^2 的特征值.
当 A=E 时， A^2=E, 1 是 A^2=E 的特征值, 但 -1 不是 A=E 的特征值。
故逆命题错误。