Question

高中数学竞赛，学霸进

若函数y=根号（sin6次方x+cos6次方x+asinxcosx）的定义域为R，求实数a的取值范围

Answer 1

sin六次方x可以看做（sin²x）³
cos六次方x可以看做（cos²x）³
那么sin6次方x+cos6次方x可以看做（sin²x）³+（cos²x）³
立方和公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）
结果可化为（sin²x+cos²x）（sin四次方x-sin²xcos²x+cos四次方x）
也就是sin四次方x-sin²xcos²x+cos四次方x
再加上3sin²xcos²x又减去3sin²xcos²x
那么就是sin四次方x+2sin²xcos²x+cos四次方x-3sin²xcos²x
=（sin²x+cos²x）²-3sin²xcos²x
=1-3sin²xcos²x
那么根号里的结果就是1-3sin²xcos²x+asinxcosx
即1-3/4（sin²2x）+a/2（sin2x）
定义域为R，那么sin2x属于[-1,1]
若结果恒非负，那么有设b=sin2x，就是f（b）=1-3b²/4+ab/2
有f（1）≥0且f（-1）≥0
即：1/4+a/2≥0且1/4-a/2≥0
即：a≥-1/2且a≤1/2
则a∈[-1/2,1/2]

Answer 2

sin6+sin4cos2-sin4cos2+cos6
sin4+cos2(cos2-sin2)
sin4+cos4-cos2sin2
sin4+sin2cos2+sin2cos2+cos4-3sin2cos2
sin2+cos2-3sin2cos2
1-3sin2cos2
1-3/4sin2(2x)
令sin(2x)=t,-1<=t<=1
y=根(1-3/4t2+a/2t)

Answer 3

f(x)=√[2^(x^2+2ax-a)-1],要使等式有意义,有
2^(x^2+2ax-a)-1≥0,
2^(x^2+2ax-a)≥2^0,
x^2+2ax-a≥0,要使不等式恒成立,⊿≤0,
(2a)^2-4(-1)≤0,
-1≤a≤0,
a的取值范围是-1≤a≤0
望采纳，谢谢！