Question

设fx在{a b}连续，在（a b）上可导且满足fa=fb证fx的导数+f^2=0

运用罗尔定理，解答，构造辅助函数不是可以用微分方程求解吗，可是我求来不对，大侠可以用微分方程来求解辅助函数吗

Answer 1

能不能发个原题，拍照的，对题意和要求就不会产生歧义！

追问

设f（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=0证明 存在c∈（a，b）使f‘（c）+f（c）=0我就想知道这个题目辅助函数构造的具体过程即思路

追答

是这样的吗？欲证式是这样的形式？

追问

设f（x）在[a,b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）=f（b）=0证明 存在c∈（a，b）f‘（c）+f^2（c）=0
我就想知道辅助函数是怎样构造出来的，方法为微分方程求解原函数可是我求了半天也没求出来

追答

图片可以点击放大。

1. 本题也可假定在离a最近的零点，如果多于两个零点，可以取任意两个相邻零点进行论证；因为题意只说明在（a，b）可导，并没有说明单调性，所以在（a，b）内函数与x轴可以有任意多交点，也就是函数零点。

2. 如果所取区间函数图像在x轴以下，可进行类似讨论，没有本质区别。

3. 题中构造出的函数F（x），并非凭空想象，而是根据所要论证的等式形式，进行变形，从变形后的式子里分析出来的。只是略难了些。

   
   

   
   

追问

大神可以留个qq吗，考研路上还望多多关照啊

追答

呵呵，这里不敢，被百度给搞了好多次，上次答题，数字多了，都被他认定违规！
给你个链接，里面有联系方式。http://zhidao.baidu.com/question/1924640039299125907.html?oldq=1

Answer 2

令g(x)=e^x*f(x)
则g(a)=g(b)=0
所以存在c∈(a,b)使得g'(c)=e^c*(f'(c)+f(c))=0
即f'(c)+f(c)=0