Question

关于经济数学的一道题目，求详细过程，如图！谢谢！

谢谢各位

Answer 1

由题意，[e^(2x)]cosx 的原函数是：
(1/5)[e^(2x)]sinx+(2/5)[e^2x]cosx+C ，其中C是任意常数；
设 F(x)=(1/5)[e^(2x)]sinx+(2/5)[e^2x]cosx ，那么
∫(0→π/2)[e^(2x)]cosxdx
=F(π/2)-F(0)
=(1/5)[e^(2(π/2))]sin(π/2)+(2/5)[e^2(π/2)]cos(π/2)-(1/5)[e^0]sin0-(2/5)[e^0]cos0
=(1/5)(e^π)+0-0-2/5
=(1/5)((e^π)-2)
希望对你有用~

追问

请问你是怎么算出，[e^(2x)]cosx 的原函数是：(1/5)[e^(2x)]sinx+(2/5)[e^2x]cosx+C ，其中C是任意常数????

我就是这个过程不太明白喔,能详细写一下吗?

追答

利用 cosx 和 sinx 积分的对称性，然后建立方程组解出的。

追问

能写一下过程吗? 真心不会

追答

根据分部积分法，有
∫(e^2x)cosxdx=(e^2x)sinx-∫2(e^2x)sinxdx
∫(e^2x)sinxdx=(e^2x)(-cosx)-∫2(e^2x)(-cosx)dx
令 ∫(e^2x)cosxdx=A ，∫(e^2x)sinxdx=B，那么
A=(e^2x)sinx-2B
B=-(e^2x)cosx+2A
解得 A=(1/5)[e^(2x)]sinx+(2/5)[e^2x]cosx

所以 [e^(2x)]cosx 的原函数是：(1/5)[e^(2x)]sinx+(2/5)[e^2x]cosx+C

Answer 2