Question

C为线段AB上一点，分别以AC和BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，BD，交于

C为线段AB上一点，分别以AC和BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，BD，交于F，AE交CD于G，BD交CE于H，连FC,GH （1）求证:三角形CHG是等边三角形 （2）求∠AFB的度数 （3）求证FC平分∠AFB （4）FA平分∠DFC

Answer 1

1、∵△ADC、△BCE是等边三角形

∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠BCE=60°，那么∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE=120°

∴∠ACE=∠BCE=120°，∠DCE=60°

∴△ACE≌△DCB(SAS)

∴∠CAE=∠CDB

即∠CAG=∠CDH

∵∠DCH=∠ACG=60°

AC=CD

∴△ACG≌△DCH(ASA)

∴CG=CH

∵∠GCH=∠DCE=60°

∴△CHG是等边三角形[∠CHG=∠CGH=(180°-∠GCH)/2=60°]

2、∵△ACE≌△DCB(SAS)，∠CAE=∠CDB

∴∠GDF=∠CAG

∵∠DGF=∠AGC

∴∠DFG=∠ACG=∠ACD=60°(两个三角形中，有两对角相等，那么第三对角也相等）

∴∠AFB=180°-∠DFG=180°-60°=120°

3、学过四点共圆，就很简单：

∵△ACE≌△DCB(SAS)，∠CAE=∠CDB

∴∠GDF=∠CAG

∴A、D、F、C四点共圆

∴∠CFG=∠ADC=60°

那么∠BFC=∠AFB-∠CFG=120°-60°=60°

∴FC平分∠AFB

4、∠DFA=∠CFA=60°

∴FA平分∠DFC