Question

求数学高手解答

(1)如图1所示,在四边形ABCD中,AC=BD,AC与BD相交于点O,E,F分别是AD,BC的中点,连接EF,分别交AC,BD于点M,N,试判断△OMN的形状,并加以证明;(提示:利用三角形中位线定理) (2)如图2,在四边形ABCD中,若AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点,连接FE并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角?若有,请直接写出结论: ; (3)如图3,在△ABC中,AC>AB,点D在AC上,AB=CD,E,F分别是AD,BC的中点,连接FE并延长,与BA的延长线交于点M,若∠FEC=45°,判断点M与以AD为直径的圆的位置关系,并简要说明理由.

Answer 1

解：（1）结论：△OMN是等腰三角形（1分）
证明：如图1，取AB的中点H，连接HF，HE
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴HF∥AC，HF＝
1
2
AC（2分）
∴∠FMC=∠HFE；
同理，HE∥BD，HE＝
1
2
BD，
∴∠END=∠HEF；
又∵AC=BD，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠END=∠FMC，（3分）
∴△OMN是等腰三角形．

（2）正确画图（如图2）（4分）
连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；
连接EG、GF、FH、EH；
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴EG=
1
2
AB，GF=
1
2
CD，FH=
1
2
AB，EH=
1
2
CD，
∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形．
∴∠GEF=∠HEF；
∵EG∥BM，
∴∠GEF=∠BMF，
∵HE∥CN，
∴∠CNF=∠HEF，
∴∠BMF=∠CNF．（5分）

（3）点M在以AD为直径的圆外（6分）
证明：如图3，由（2）的结论，∠M=∠FEC，
∵∠AEM=∠DEF，
∴∠M=∠DEF=45°，
∴∠MAD=90°
∴ME＞AE，
又∵E是AD中点，
∴点M在以AD为直径的圆外．（7分）
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