Question

如图在边长是4的正方形ABCD中，以AD为直径作圆O，以C为圆心，CD长为半径作弧BD，交圆O于正方形内一点E

连接CE并延长交AB于点F，求△BCF与直角梯形ADCF周长之比
http://hiphotos.baidu.com/%BB%A8%5F%B3%D4%C1%CB%C4%C7%C5%AE%BA%A2/pic/item/1ddb08e69b5a331eb9382090.jpg

Answer 1

如图，AD中点O即半圆的圆心，作辅助线，OE、OC、OF

因为E在半圆上，所以OE=OD=2

E也在四分之一圆上，所以EC=DC=4

加上公共边OC

马上我们就可以知道△ODE和△OCE是全等的直角三角形(SSS)

角EOC=角DOC

所以OE和FC垂直

又OA=OE=2

角FAO=角FEO=直角

加上公共边OF

证明△AOF和△EOF是全等直角三角形(HL)

角AOF=角EOF

那么角FOC=角EOC+角EOF=角AOD/2=90度

也就是△OFC也是直角三角形

根据射影定理 FE*EC=OE*OE

所以FE=2*2/4=1

然后根据全等有AF=1，

FB=AB-AF=4-3=3，FC=FE+EC=1+4=5

所以△BCF周长=3+4+5=12

梯形ADCF周长=4+4+5+1=14

两者之比是12：14=6：7